A álgebra de proposições lógicas é um conjunto de regras e propriedades fundamentais que são essenciais para resolver questões de lógica em concursos públicos. Entender essas propriedades permite ao candidato simplificar e manipular proposições complexas de forma a facilitar a resolução de problemas, especialmente em questões que envolvem tabelas-verdade e provas de equivalência lógica.
Introdução
A álgebra de proposições lógicas envolve o estudo das propriedades que governam as operações lógicas básicas, como a conjunção (e; ∧), a disjunção inclusiva (ou; ∨), e a negação (¬). Essas propriedades são ferramentas essenciais para a manipulação de proposições em provas de concursos, permitindo transformar e simplificar expressões lógicas de maneira eficiente. Neste guia, exploraremos as principais propriedades da álgebra de proposições, fornecendo exemplos práticos para facilitar a compreensão.
Propriedade comutativa
A propriedade comutativa afirma que a ordem dos elementos em uma operação lógica não altera o resultado. Para a conjunção e a disjunção inclusiva, essa propriedade é válida e fundamental para simplificar expressões lógicas.
- Para a conjunção: p∧q=q∧pp ∧ q = q ∧ pp∧q=q∧p
- Para a disjunção: p∨q=q∨pp ∨ q = q ∨ pp∨q=q∨p
Por exemplo, se considerarmos as proposições “A” e “B”, onde “A” representa “Estudo para concursos” e “B” representa “Passo no concurso”, podemos afirmar que a proposição “Estudo para concursos e passo no concurso” é logicamente equivalente a “Passo no concurso e estudo para concursos”.
Propriedade associativa
A propriedade associativa permite que a forma como os termos são agrupados em operações lógicas não afete o resultado final. Isso é útil ao lidar com múltiplas proposições em uma expressão lógica.
- Para a conjunção: (p∧q)∧r=p∧(q∧r)(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)(p∧q)∧r=p∧(q∧r)
- Para a disjunção: (p∨q)∨r=p∨(q∨r)(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)(p∨q)∨r=p∨(q∨r)
Imagine que temos três proposições: “A”, “B”, e “C”. Se “A” é “Estudo”, “B” é “Faço exercícios”, e “C” é “Passo no concurso”, então “Estudo e (Faço exercícios e passo no concurso)” é equivalente a “(Estudo e faço exercícios) e passo no concurso”.
Propriedade distributiva
A propriedade distributiva permite que uma operação se distribua sobre outra dentro de uma expressão lógica. Existem duas variações principais dessa propriedade: a conjunção distribuindo-se sobre a disjunção e a disjunção distribuindo-se sobre a conjunção.
Propriedade distributiva da conjunção com relação à disjunção inclusiva
- p∧(q∨r)=(p∧q)∨(p∧r)p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p∧(q∨r)=(p∧q)∨(p∧r)
Essa propriedade permite reescrever a expressão “Estudo e (Passo ou Faço exercícios)” como “(Estudo e passo) ou (Estudo e faço exercícios)”. Isso é útil para simplificar e resolver questões onde é necessário expandir proposições.
Propriedade distributiva da disjunção inclusiva com relação à conjunção
- p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)
De maneira análoga, a expressão “Estudo ou (Passo e Faço exercícios)” pode ser reescrita como “(Estudo ou passo) e (Estudo ou faço exercícios)”, facilitando a manipulação e resolução de questões complexas.
Propriedade da identidade, da absorção e da idempotência
Essas propriedades adicionais são cruciais para simplificar ainda mais as proposições e evitar redundâncias em expressões lógicas.
Propriedade da identidade
A propriedade da identidade descreve que qualquer proposição combinada com uma identidade lógica retém seu valor original.
Propriedade da identidade para a conjunção
- p∧V=pp ∧ V = pp∧V=p
Onde “V” representa uma verdade lógica. Por exemplo, “Estudo e verdade” é equivalente a “Estudo”.
Propriedade da identidade para a disjunção inclusiva
- p∨F=pp ∨ F = pp∨F=p
Onde “F” representa uma falsidade lógica. Por exemplo, “Estudo ou falso” ainda resulta em “Estudo”.
Propriedade da absorção
A propriedade da absorção ajuda a eliminar redundâncias, indicando que uma proposição pode “absorver” outra similar dentro de uma expressão lógica.
- p∨(p∧q)=pp ∨ (p ∧ q) = pp∨(p∧q)=p
- p∧(p∨q)=pp ∧ (p ∨ q) = pp∧(p∨q)=p
Se “Estudo” é verdadeiro, a expressão “Estudo ou (Estudo e Faço exercícios)” simplifica-se para “Estudo”.
Propriedade da idempotência
A propriedade da idempotência refere-se à repetição de uma proposição dentro de uma operação lógica, onde o valor da proposição permanece o mesmo.
- p∧p=pp ∧ p = pp∧p=p
- p∨p=pp ∨ p = pp∨p=p
Por exemplo, “Estudo e estudo” se simplifica para “Estudo”, e “Estudo ou estudo” também se simplifica para “Estudo”.
Álgebra de proposições × tautologia, contradição e contingência
Na álgebra de proposições lógicas, é essencial entender como essas propriedades se aplicam a conceitos como tautologia, contradição e contingência. Uma tautologia é uma proposição sempre verdadeira, uma contradição é sempre falsa, e uma contingência pode ser verdadeira ou falsa dependendo das proposições envolvidas.
- Tautologia: p∨¬pp ∨ ¬pp∨¬p (Sempre verdadeiro)
- Contradição: p∧¬pp ∧ ¬pp∧¬p (Sempre falso)
- Contingência: p∨qp ∨ qp∨q (Varia de acordo com os valores de ppp e qqq)
Compreender esses conceitos ajuda a identificar e construir proposições de maneira mais eficaz em questões de concurso.
Bicondicional em problemas de tautologia, contradição e contingência
A bicondicional (p↔q) é uma proposição que é verdadeira quando ambas as proposições envolvidas têm o mesmo valor lógico. Esse conceito é frequentemente utilizado para testar a equivalência entre proposições e verificar se uma determinada expressão é uma tautologia, contradição ou contingência.
Por exemplo, para verificar se “Estudo se e somente se passo no concurso” é uma tautologia, devemos comparar as tabelas-verdade de ambas as proposições envolvidas. Se em todas as linhas os valores forem iguais, então temos uma bicondicional verdadeira, o que pode significar uma tautologia.