As proposições lógicas são palavras ou símbolos que expressam um pensamento completo. Elas indicam afirmações de fatos ou ideias. Essas afirmações têm valores lógicos, podendo ser verdadeiras ou falsas.
Na lógica matemática, uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. As proposições podem ser simples ou compostas. As simples têm apenas uma sentença. As compostas são feitas de duas ou mais proposições simples.
Entender as proposições lógicas é essencial para melhorar o pensamento lógico e resolver problemas. Nesta introdução, vamos explorar os fundamentos. Vamos desde a definição até os diferentes tipos de sentenças.
Proposições Lógicas
As proposições são muito importantes no mundo lógico. Elas são declarações que podemos dizer se são verdadeiras ou falsas. Podemos dividir as proposições em simples e compostas.
Definição
As proposições simples são declarações que não combinam outras. Exemplos são “O céu é azul” ou “São Paulo é a maior cidade do Brasil”. Já as proposições compostas juntam várias proposições simples com conectivos lógicos, como “e”, “ou”, “se… então” e “se e somente se”.
Exemplos
Veja alguns exemplos de proposições simples:
- “A Terra é redonda.”
- “O café é uma bebida quente.”
- “O número 7 é primo.”
Para as proposições compostas, veja:
- “O céu é azul e o grama é verde.”
- “Brasília é a capital do Brasil ou Lima é a capital do Peru.”
- “Se chover, então vou usar um guarda-chuva.”
O que não é proposição?
Não todas as sentenças são proposições lógicas. Por exemplo, exclamações (“Que belo dia!”), perguntas (“Onde fica o Museu do Louvre?”), ordens (“Feche a porta.”) e sugestões (“Que você tenha um ótimo dia!”) não são consideradas proposições. Isso porque não podem ser avaliadas como verdadeiras ou falsas.
Paradoxos
Os paradoxos são declarações que parecem verdadeiras mas levam a conclusões contraditórias. Um exemplo é “Esta frase é falsa.” Se for verdadeira, é falsa; e se for falsa, é verdadeira. Temos aí uma confusão lógica, ou seja, uma contradição. Portanto os paradoxos não são proposições lógicas.
Sentenças Abertas
Sentenças abertas são frases declarativas que possuem termo variável. Seu valor lógico vai depender deste termo, portanto as sentenças abertas não são consideradas proposições pois a depender do valor lógico dos termos variáveis elas poderiam ser verdadeiras ou falsas. Exemplos de Sentenças Abertas:
- x + 3 = 4 (dependendo do valor de x essa sentença seria verdadeira ou seria falsa, o que é incompatível do ponto de vista lógico);
- Ele ganhou o Oscar (Temos aqui o termo variável “Ele” o qual dependendo de quem seja torna a declaração verdadeira ou falsa);
Classificação das Proposições
As proposições lógicas são divididas em dois grupos: proposições simples e proposições compostas. Essa divisão ajuda a entender melhor como elas funcionam na lógica.
Proposições Simples
As proposições simples são declarações únicas, como “O céu é azul”. Elas são a base da lógica. Podemos avaliar se são verdadeiras ou falsas por si só.
Proposições Compostas
As proposições compostas conecta várias proposições simples com conectivos lógicos. Por exemplo, “O céu é azul e as nuvens são brancas”. O valor dessas proposições depende das verdades das proposições simples que as compõem.
| Tipo de Proposição | Definição | Exemplos |
|---|---|---|
| Proposições Simples | Representações únicas de uma declaração | “O céu é azul”, “A Terra é redonda” |
| Proposições Compostas | Combinação de duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos lógicos | “O céu é azul e as nuvens são brancas”, “Se chover, então usarei o guarda-chuva” |
Entender a classificação de proposições é chave para a lógica. Ela é usada em muitos campos, como matemática, filosofia e ciência da computação.
Conectivos Lógicos
As proposições simples se unem por conectivos lógicos. Eles são essenciais para definir o valor final de uma proposição composta. Isso depende dos valores das proposições simples e como elas são combinadas.
Conjunção, conectivo “e”
A conjunção usa o conectivo “e”. Ela junta duas ou mais proposições simples. A proposição composta é verdadeira só se todas as simples forem verdadeiras.
Disjunção Inclusiva, conectivo “ou”
A disjunção inclusiva usa o conectivo “ou”. Ela une proposições simples também. A proposição composta é verdadeira se pelo menos uma das simples for verdadeira.
Condicional, conectivo “se…, então”
O condicional usa o conectivo “se…, então”. Ele mostra uma relação de dependência entre duas proposições. A proposição composta é verdadeira se a primeira for falsa ou a segunda for verdadeira, Por outro lado o condicional é falso quando a primeira for verdadeira e a segunda for falsa.
Bicondicional, conectivo “se e somente se”
O bicondicional usa o conectivo “se e somente se”. Ele mostra que duas proposições são equivalentes. A proposição composta é verdadeira se as duas tiverem o mesmo valor lógico.
Disjunção exclusiva, conectivo “ou…ou”
A disjunção exclusiva usa o conectivo “ou…ou”. Ela permite que apenas uma das proposições seja verdadeira. A proposição composta é verdadeira se apenas uma das proposições for verdadeira.