A divisão diretamente proporcional aparece com frequência em questões de rateio: heranças, prêmios, verbas, horas trabalhadas, idades, mérito, entre outros. Em uma divisão diretamente proporcional, cada parte cresce na mesma proporção do seu “peso”. Se um peso é o dobro do outro, a parte correspondente também será o dobro.
Se precisar revisar a base conceitual, vale retomar os tópicos de razão e proporção e proporcionalidade antes de prosseguir.
O que é divisão diretamente proporcional?
Dados um total T e pesos (ou razões) w1, w2, …, wn, queremos encontrar partes x1, x2, …, xn tais que:
- xi é diretamente proporcional a wi (se wi aumenta, xi aumenta na mesma proporção);
- x1 + x2 + … + xn = T.
O método mais prático usa a soma dos pesos: S = w1 + w2 + … + wn. Então cada parte é:
xi = T × (wi / S).
Passo a passo para resolver divisão diretamente proporcional
- Identifique o total (T): o valor que será dividido.
- Anote os pesos: são as razões que determinam a proporção do rateio (podem ser números, idades, pontos, horas, etc.).
- Some os pesos: calcule S = soma de todos os pesos.
- Encontre a constante k: k = T / S.
- Calcule cada parte: xi = k × wi.
- Cheque: some as partes (tem que dar T) e compare as razões (xi : xj deve ser wi : wj).
Simplifique os pesos antes de somar (divida todos pelo mesmo número, se possível). Isso mantém a proporção e agiliza as contas.
Somar as partes intermediárias sem conferir a proporção, ou usar média aritmética do total. Em divisões proporcionais, quem manda são os pesos, não o número de parcelas.
Exemplo resolvido
Exemplo: Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
Resolução:
Pesos: 2, 3 e 5. Soma S = 2 + 3 + 5 = 10. Logo, k = 720 / 10 = 72.
- Parte 1: 2 × 72 = 144
- Parte 2: 3 × 72 = 216
- Parte 3: 5 × 72 = 360
Verificação: 144 + 216 + 360 = 720. E 144:216:360 = 2:3:5.
Resposta: 144, 216 e 360.
Método da constante de proporcionalidade (k)
Outra forma de enxergar o mesmo procedimento é encontrar a constante k que “transforma” cada peso na sua parte: xi = k × wi. Como a soma das partes deve ser T, temos k × (soma dos pesos) = T, daí k = T/S.
Se preferir, dá para montar uma regra de três simples para cada parte: a proporção xi : T = wi : S também leva a xi = T × (wi / S).
Exemplo resolvido
Exemplo: Um prêmio de R$ 540,00 deve ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades 12, 15 e 18.
Resolução:
Pesos: 12, 15 e 18. Soma S = 12 + 15 + 18 = 45. Logo, k = 540 / 45 = 12.
- Parte 1: 12 × 12 = 144 → R$ 144,00
- Parte 2: 15 × 12 = 180 → R$ 180,00
- Parte 3: 18 × 12 = 216 → R$ 216,00
Checagem: 144 + 180 + 216 = 540 e as razões 144:180:216 = 12:15:18.
Resposta: R$ 144,00; R$ 180,00; R$ 216,00.
Pesos com frações, decimais ou porcentagens
Faz-se da mesma forma. A dica é converter para pesos inteiros equivalentes, quando possível:
- Frações: use o MMC dos denominadores e transforme em inteiros proporcionais.
- Decimais: multiplique todos pelo mesmo fator (10, 100, etc.) para “tirar” as casas decimais.
- Porcentagens: retire o símbolo % e trate como números; se somam 100, as partes são exatamente as respectivas porcentagens do total.
Exemplo resolvido
Exemplo: Dividir R$ 1.300,00 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3 e 1/4.
Resolução:
Converta as frações em pesos inteiros. MMC(2, 3, 4) = 12. Pesos equivalentes: (1/2, 1/3, 1/4) → (6, 4, 3). Soma S = 6 + 4 + 3 = 13. Então k = 1.300 / 13 = 100.
- Parte 1: 6 × 100 = R$ 600,00
- Parte 2: 4 × 100 = R$ 400,00
- Parte 3: 3 × 100 = R$ 300,00
Checagem: 600 + 400 + 300 = 1.300 e as razões 600:400:300 = 6:4:3, equivalentes a 1/2 : 1/3 : 1/4.
Resposta: R$ 600,00; R$ 400,00; R$ 300,00.
Nem todo rateio é diretamente proporcional. Em divisão inversamente proporcional, a parte diminui quando o peso aumenta (ex.: dividir um valor por tempo/velocidade/quantidade que mede “capacidade” de produzir). Aqui tratamos apenas da divisão direta.
Direta x inversa: quando usar cada uma
Use a intuição do enunciado: “mais peso gera parte maior?” Se sim, é direta; se não, é inversa.
| Critério | Diretamente proporcional | Inversamente proporcional |
|---|---|---|
| Relação com o peso | Parte aumenta com o peso | Parte diminui quando o peso aumenta |
| Exemplos típicos | Mérito, pontos, idade, horas dedicadas, produção individual | Velocidade, número de trabalhadores para a mesma tarefa, tempo de execução |
| Como calcular | Use os próprios pesos w | Use os inversos 1/w |
Checklist de verificação rápida
- Os pesos estão na mesma unidade e fazem sentido para o contexto?
- Você simplificou os pesos quando possível?
- Soma das partes confere com o total T?
- As razões entre partes repetem as razões entre pesos?
Relação com razão, proporção e regra de três
Divisão diretamente proporcional é uma aplicação prática de razão e proporção dentro do tema de proporcionalidade. A técnica pode ser implementada por regra de três: x : T = w : S. Se quiser revisar a montagem e os cuidados, veja regra de três simples: passo a passo.
Com treino, você decide rapidamente se o caso é direto ou inverso, escolhe pesos adequados e verifica o resultado em poucos segundos.
Encerramento e próximos passos
O essencial da divisão diretamente proporcional é: some os pesos, encontre k = T/S e multiplique cada peso por k. Sempre confira a soma e a relação entre as partes. Esse raciocínio resolve a imensa maioria dos rateios em provas.
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