Em questões de área sombreada, a banca esconde contas simples por trás de recortes, sobreposições e figuras mistas. Com alguns métodos padrão — decomposição, complementação, simetria e frações da figura — você resolve com segurança e rapidez, sem decorar casos isolados. Se precisar revisar conceitos-base, veja o guia de Geometria Plana.
O que a banca quer quando pede área sombreada
Normalmente, a região sombreada é a união ou a diferença de áreas conhecidas (retângulos, triângulos, trapézios, círculos, setores). O desafio está em reconhecer o caminho de cálculo mais curto, não em fórmulas exóticas.
Estratégias fundamentais para área sombreada
1) Decomposição em partes simples
Quando a região sombreada é uma união de pedaços conhecidos, some as áreas das partes após dividir a figura em retângulos, triângulos, trapézios e setores. Use fórmulas básicas como:
- Retângulo: base × altura.
- Triângulo: base × altura ÷ 2 (revisão em Área do triângulo).
- Trapézio: (B + b) × h ÷ 2 (veja Área do trapézio).
2) Complementação (área total − área(s) não sombreada(s))
Quando a parte sombreada é “o que sobrou” dentro de uma moldura (quadrado, retângulo ou círculo), calcule a área total e subtraia as partes claras. Este método é imbatível em regiões em forma de “L” ou com recortes redondos (setores/semicírculos).
Se a região sombreada parece mais complicada do que a clara, tente a complementação. Frequentemente, é uma subtração direta.
3) Simetria e frações da figura
Se a figura foi dividida em partes congruentes (ou em porções proporcionais claras), calcule a fração da figura total. Exemplos comuns:
- Diagonal do retângulo divide a área ao meio (cada triângulo tem metade da área do retângulo).
- Divisões regulares (grade 2×2, 3×3 etc.) permitem “contar quadradinhos” e usar frações, sem medir.
4) Setores circulares, coroas e segmentos
Muitos sombreamentos envolvem partes de círculos. Lembrete de fórmulas úteis:
- Círculo: A = πr2 (Área do círculo).
- Setor de ângulo θ (em graus): A = (θ/360)·πr2. Veja também setor circular.
- Coroa circular (entre dois raios): A = π(R2 − r2).
Trocar diâmetro por raio em πr2 ou usar o ângulo errado do setor. Confirme sempre: r é a metade do diâmetro e θ é o ângulo efetivamente interceptado pelo setor.
5) Semelhança de figuras e proporcionalidade
Se figuras são semelhantes (mesmo formato, escala diferente), as áreas variam com o quadrado da razão linear. Se os lados estão na razão k, as áreas estão na razão k2. Útil em “janelas” quadradas/retangulares internas e em polígonos escalonados.
6) Unidades, escalas e dados implícitos
- Converta unidades antes do cálculo (cm para m, mm para cm). Área muda com o quadrado da escala.
- Procure alturas ocultas (às vezes dá para achar por simetria ou Pitágoras) e bases “escondidas”.
Se a figura foi desenhada em escala, ajuste as medidas. Ao dobrar a escala linear, a área quadruplica.
Passo a passo para calcular área sombreada
- Identifique a “moldura” (figura maior) e os recortes/sobreposições.
- Escolha o caminho mais curto: decompor e somar, ou completar e subtrair.
- Liste as áreas necessárias e as respectivas fórmulas.
- Calcule com cuidado as medidas (confirme raio, altura e unidades).
- Some ou subtraia conforme o desenho. Revise a coerência do resultado (ordem de grandeza).
Para mais situações de recortes, veja também o guia de área de figuras compostas.
Exemplos resolvidos
Exemplo resolvido
Exemplo: Um quadrado de lado 10 cm contém, em um de seus vértices, um quarto de círculo de raio 10 cm. A região dentro do quadrado e fora do quarto de círculo está sombreada. Calcule a área sombreada.
Resolução:
Trata-se de complementação: área do quadrado menos área do setor de 90°.
- Quadrado: 10 × 10 = 100 cm2.
- Setor 90°: (90/360)·π·102 = (1/4)·π·100 = 25π cm2.
Logo, Asombreada = 100 − 25π cm2.
Resposta: 100 − 25π cm2.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um retângulo de 12 cm por 8 cm é cortado por uma de suas diagonais. A região acima da diagonal está sombreada. Determine a área sombreada.
Resolução:
A diagonal divide o retângulo em dois triângulos congruentes, cada um com metade da área total.
- Retângulo: 12 × 8 = 96 cm2.
- Metade: 96 ÷ 2 = 48 cm2.
Resposta: 48 cm2.
Exemplo resolvido
Exemplo: A figura sombreada tem formato de “casa”: um retângulo de 8 cm por 6 cm com um triângulo isósceles sobre a base maior, de base 8 cm e altura 3 cm. Calcule a área sombreada.
Resolução:
Use decomposição: some a área do retângulo com a área do triângulo.
- Retângulo: 8 × 6 = 48 cm2.
- Triângulo: (8 × 3) ÷ 2 = 12 cm2.
Logo, Asombreada = 48 + 12 = 60 cm2.
Resposta: 60 cm2.
Quando cada estratégia brilha
- Complementação: molduras, regiões em “L”, recortes circulares internos.
- Decomposição: união de polígonos simples e “casas” (retângulo + triângulo).
- Simetria/frações: divisões regulares, diagonais, malhas quadriculadas.
- Setores/coroas: qualquer presença de arcos, ângulos centrais e anéis.
- Semelhança: janelas internas proporcionais; escalas diferentes do mesmo formato.
Fechamento
O segredo da área sombreada é escolher o caminho mais curto: somar pedaços (decomposição), subtrair o que falta (complementação) ou usar proporções (simetria, frações e semelhança). Revise as fórmulas essenciais e treine reconhecer padrões visuais: isso acelera muito a resolução.
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