O que é divisão inversamente proporcional?
Na divisão inversamente proporcional, uma quantia fixa é repartida em partes que variam de forma inversa aos números dados. Em termos simples: quanto maior o número de referência, menor a parte recebida; quanto menor o número, maior a parte.
Se as partes devem ser inversamente proporcionais a a, b, c, então as partes são proporcionais a 1/a, 1/b, 1/c.
Passo a passo para resolver divisão inversamente proporcional
Método 1: pesos pelos inversos (o mais prático)
- Escreva os pesos inversos: para a, b, c, use 1/a, 1/b, 1/c.
- Elimine frações multiplicando todos por um mesmo número (geralmente o MMC dos denominadores) para obter uma razão inteira equivalente.
- Some os pesos para obter o total da razão.
- Distribua a quantia: cada parte = (peso da parte / soma dos pesos) × total.
- Verifique: a maior parte deve corresponder ao menor número de referência.
Método 2: constante k (forma algébrica)
Se as partes são inversamente proporcionais a a, b, c, escreva:
Parte A = k/a, Parte B = k/b, Parte C = k/c.
Como a soma das partes é o total T:
(k/a) + (k/b) + (k/c) = T ⇒ k × (1/a + 1/b + 1/c) = T ⇒ k = T ÷ (1/a + 1/b + 1/c).
Depois, calcule cada parte substituindo o valor de k.
Na divisão inversamente proporcional, quem tem número de referência maior recebe menos. Isso é o oposto da divisão diretamente proporcional. Se precisar revisar a diferença, veja o conteúdo de divisão diretamente proporcional.
Exemplos resolvidos
Exemplo resolvido
Exemplo: Dividir R$ 1.200 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 6.
Resolução:
Pesos inversos: 1/2, 1/3, 1/6. Eliminando frações pelo MMC 6: 3 : 2 : 1. Soma dos pesos = 3 + 2 + 1 = 6.
- Parte 1 = (3/6) × 1.200 = R$ 600
- Parte 2 = (2/6) × 1.200 = R$ 400
- Parte 3 = (1/6) × 1.200 = R$ 200
Observação: a maior parte (R$ 600) ficou associada ao menor número (2), confirmando a inversa.
Resposta: R$ 600, R$ 400 e R$ 200.
Exemplo resolvido
Exemplo: Três trabalhadores executam a mesma tarefa sozinhos em 8 h, 10 h e 12 h, respectivamente. Divida R$ 1.110 entre eles, inversamente proporcional aos tempos.
Resolução:
Produtividade é inversa ao tempo, então os pesos são 1/8, 1/10 e 1/12. MMC(8, 10, 12) = 120 ⇒ pesos inteiros: 15 : 12 : 10. Soma = 37.
- Parte (8 h) = (15/37) × 1.110 = R$ 450
- Parte (10 h) = (12/37) × 1.110 = R$ 360
- Parte (12 h) = (10/37) × 1.110 = R$ 300
Verificação: quem faz em 8 h (mais rápido) recebe mais, coerente com a inversa ao tempo.
Resposta: R$ 450, R$ 360 e R$ 300.
Confundir e usar os números dados como pesos diretos. Na inversa, os pesos são os inversos (1/a, 1/b, 1/c). Se você usar a, b, c diretamente, estará fazendo divisão diretamente proporcional.
Como identificar quando usar divisão inversamente proporcional
Use quando o enunciado indicar que a parte deve aumentar quando o número de referência diminui (e vice-versa). Situações típicas:
- Distribuição por tempo para executar uma mesma tarefa: menor tempo ⇒ maior parcela.
- Repartição por taxas como velocidade para um mesmo percurso: maior velocidade ⇒ maior parcela.
- Divisão por consumo (quando a referência é “gasta por unidade” para a mesma produção): menor consumo ⇒ maior parcela.
- Problemas que mencionam explicitamente: “dividir em partes inversamente proporcionais a …”.
Diferenças essenciais para a divisão diretamente proporcional
- Diretamente proporcional: usa os próprios números como pesos (a, b, c).
- Inversamente proporcional: usa os inversos (1/a, 1/b, 1/c).
- Checagem rápida: na direta, maior dado ⇒ maior parte; na inversa, maior dado ⇒ menor parte.
Se precisar revisar a técnica irmã, consulte a explicação de divisão diretamente proporcional.
Atalhos e verificações
Antes de calcular, ordene mentalmente: associe o maior resultado ao menor número de referência. Se isso não ocorrer na sua resposta, há erro no método ou na conta.
Outras verificações úteis:
- Some as partes: precisa voltar exatamente ao total.
- Razões entre partes devem refletir os inversos. Ex.: se pesos finais são 3:2:1, então Parte1:Parte2 = 3:2, etc.
- Ao usar o método da constante k, confira o valor de k com a soma dos inversos.
Relação com regra de três e fundamentos
A divisão inversamente proporcional distribui um total fixo em partes conforme razões inversas. Já a regra de três normalmente encontra um valor único a partir de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
- Fundamento teórico: razões e proporções. Para revisar, veja o conteúdo de Razão e Proporção.
- Quer reforçar a lógica da inversa em grandezas? Pratique regra de três simples (direta e inversa).
Resumo prático
- Identifique a inversa: maior dado ⇒ menor parte.
- Use pesos 1/a, 1/b, 1/c; elimine frações; some pesos.
- Parte = (peso/soma) × total. Alternativa: Parte = (k/a), com k = T ÷ (1/a + 1/b + 1/c).
- Confira ordem das partes e a soma final.
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