Dízima periódica é um conceito matemático essencial em diversos concursos públicos, especialmente em provas de raciocínio lógico e matemática. Uma dízima periódica é um número decimal que possui uma sequência infinita de dígitos que se repetem a partir de um determinado ponto. Por exemplo, o número 0,333… é uma dízima periódica, onde o dígito “3” se repete indefinidamente. A compreensão e manipulação desse tipo de número são fundamentais para resolver problemas envolvendo frações e decimais, além de serem frequentemente cobrados em questões de concursos.
Definição e Representação de Dízima Periódica
Uma dízima periódica pode ser definida como um número decimal que apresenta uma sequência de dígitos que se repetem indefinidamente após a vírgula. Existem dois tipos principais de dízima periódica: a dízima periódica simples e a dízima periódica composta.
- Dízima periódica simples: É aquela em que a repetição dos dígitos começa imediatamente após a vírgula. Exemplo: 0,777… (a repetição é o “7”).
- Dízima periódica composta: É aquela em que há uma parte não repetitiva antes do início da repetição. Exemplo: 0,1232323… (a repetição é “23”).
A notação para representar dízimas periódicas envolve colocar uma linha sobre os dígitos que se repetem. Por exemplo, 0,333… pode ser representado como 0,3, enquanto 0,142857142857… pode ser representado como 0,142857.
Transformação da Dízima Periódica em Fração
Transformar uma dízima periódica em uma fração é uma habilidade crucial em muitas questões de concursos. A técnica varia dependendo do tipo de dízima periódica, mas segue um padrão geral.
Dízima Periódica Simples
Para transformar uma dízima periódica simples como 0,3 em fração:
- Seja x = 0,333…
- Multiplique ambos os lados por 10: 10x = 3,333…
- Subtraia a equação original da multiplicada: 10x – x = 3,333… – 0,333…, resultando em 9x = 3.
- Divida ambos os lados por 9: x = 3/9 = 1/3.
Dízima Periódica Composta
Para uma dízima periódica composta como 0,123:
- Seja x = 0,1232323…
- Multiplique ambos os lados por 1000 (para mover a parte não periódica para a frente): 1000x = 123,2323…
- Multiplique por 10 para mover o primeiro dígito da parte periódica: 10x = 1,2323…
- Subtraia a segunda equação da primeira: 1000x – 10x = 123,2323… – 1,2323…, resultando em 990x = 122.
- Divida ambos os lados por 990: x = 122/990 = 61/495.
Perguntas Frequentes sobre Dízima Periódica
1. Qual é a diferença entre dízima periódica simples e composta?
A dízima periódica simples é quando a parte repetitiva começa imediatamente após a vírgula, sem qualquer intervalo, enquanto a composta tem uma parte não repetitiva antes da repetição.
2. Como saber se um número é uma dízima periódica?
Se um número decimal possui uma sequência de dígitos que se repete indefinidamente, ele é uma dízima periódica. Se a repetição não ocorrer, o número é um decimal exato.
3. Por que é importante aprender a transformar dízimas periódicas em frações?
Muitos problemas de matemática em concursos exigem que você converta dízimas periódicas em frações para simplificar cálculos ou resolver equações. Saber fazer essa conversão rapidamente pode economizar tempo e evitar erros.
Questões Resolvidas
- Transforme a dízima periódica 0,
4em fração:- x = 0,444…
- 10x = 4,444…
- Subtraindo: 10x – x = 4,444… – 0,444…
- 9x = 4 ⇒ x = 4/9
- Transforme a dízima periódica 0,1
56em fração:- x = 0,1565656…
- 100x = 15,656565…
- 10000x = 1565,6565…
- Subtraindo: 10000x – 100x = 1565,6565… – 15,6565…
- 9900x = 1550 ⇒ x = 1550/9900 = 155/990 = 31/198
- Determine se 0,333… é uma dízima periódica simples ou composta: 0,333… é uma dízima periódica simples porque a repetição “3” começa imediatamente após a vírgula.