Equações de Primeiro Grau: Guia Completo para Concursos

As equações de primeiro grau são fundamentais em diversos concursos públicos e exames de admissão. Elas consistem em expressões matemáticas onde a incógnita é elevada ao máximo à primeira potência. Essas equações são frequentemente utilizadas para resolver problemas que envolvem situações do cotidiano, como divisão de quantidades, cálculos financeiros e problemas lógicos.

O que são Equações de Primeiro Grau?

Uma equação de primeiro grau é uma igualdade que envolve uma ou mais variáveis, nas quais o maior expoente da variável é um. Em termos simples, é uma equação do tipo ax + b = 0, onde “a” e “b” são números reais e “x” é a incógnita a ser determinada. Por exemplo, a equação 2x + 3 = 7 é uma equação de primeiro grau.

• Exemplo 1: Suponha que você tenha uma gaveta com 43 processos e outra com 27 processos. Se deseja que as duas gavetas tenham a mesma quantidade de processos, quantos processos devem ser movidos de uma gaveta para outra? Aqui, você pode montar a equação: 43 - x = 27 + x, onde “x” representa o número de processos a serem movidos.

A solução dessa equação envolve manipulações algébricas básicas, como a adição ou subtração de termos em ambos os lados da equação para isolar a incógnita. Neste caso, ao resolver a equação, descobrimos que x = 8, ou seja, 8 processos devem ser movidos para equilibrar as quantidades.

Como Resolver Equações de Primeiro Grau?

A resolução de equações de primeiro grau segue um processo simples e linear. O objetivo é isolar a incógnita em um dos lados da equação para determinar seu valor. Vamos seguir os passos básicos usando um exemplo prático.

1. Simplificação Inicial: Se houver termos semelhantes em ambos os lados da equação, simplifique-os. Por exemplo, na equação 3x + 5 = 2x + 10, podemos começar subtraindo 2x de ambos os lados, resultando em x + 5 = 10.
2. Isolamento da Incógnita: Em seguida, isole a incógnita. No exemplo, subtraímos 5 de ambos os lados, obtendo x = 5.
3. Verificação: É sempre útil verificar a solução substituindo o valor encontrado de volta na equação original para garantir que a igualdade seja satisfeita.

• Exemplo 2: Resolva a equação 4x - 7 = 9. Adicionando 7 a ambos os lados, temos 4x = 16. Dividindo por 4, encontramos x = 4.

Aplicações Práticas de Equações de Primeiro Grau

Equações de primeiro grau são usadas em uma ampla gama de contextos práticos. Desde resolver problemas financeiros até tomar decisões baseadas em proporções e porcentagens, essas equações são uma ferramenta essencial.

Problemas Financeiros

Uma das aplicações mais comuns é em cálculos financeiros, como a determinação de juros simples. Por exemplo, para calcular o montante final em um investimento após aplicar uma taxa de juros constante, podemos usar uma equação de primeiro grau.

• Exemplo 3: Se você investe R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao ano, por quanto tempo precisa investir para que o montante final seja R$ 1.500,00? A equação seria 1000 + 1000 * 0,05 * t = 1500, onde “t” é o tempo em anos. Resolvendo, encontramos t = 10 anos.

Proporções e Divisões

Outro exemplo prático é a divisão proporcional. Se você deseja dividir uma quantidade entre dois ou mais grupos de acordo com uma razão específica, as equações de primeiro grau são a melhor abordagem.

• Exemplo 4: Suponha que você tenha 120 itens para dividir entre dois grupos em uma razão de 2:3. Podemos representar a quantidade de itens do primeiro grupo como 2x e a do segundo como 3x. A equação é 2x + 3x = 120, e ao resolver, encontramos x = 24. Assim, os grupos recebem 48 e 72 itens, respectivamente.

Questões Resolvidas

Para consolidar o conhecimento, a seguir estão algumas questões resolvidas que abordam a aplicação de equações de primeiro grau.

• Questão 1: Resolva a equação 5x - 3 = 2x + 12.
  Resposta: Subtraindo 2x de ambos os lados, obtemos 3x - 3 = 12. Adicionando 3, temos 3x = 15. Dividindo por 3, x = 5.
• Questão 2: Se a soma de um número e seu triplo é 24, qual é o número?
  Resposta: A equação é x + 3x = 24. Simplificando, 4x = 24, então x = 6.
• Questão 3: Um número menos 7 é igual a 2 vezes o número menos 15. Encontre o número.
  Resposta: A equação é x - 7 = 2x - 15. Subtraindo x de ambos os lados, -7 = x - 15. Adicionando 15, temos x = 8.

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