Equações Biquadradas: Guia Completo para Concursos

As equações biquadradas são um tipo específico de equações algébricas de quarto grau, que desempenham um papel importante na matemática aplicada a concursos. Elas aparecem frequentemente em provas de concursos, exigindo do candidato um entendimento claro e preciso para resolvê-las eficientemente. Neste artigo, vamos explorar o conceito de equações biquadradas, seus métodos de resolução, e fornecer exemplos práticos para consolidar o conhecimento.

O que são Equações Biquadradas?

Uma equação biquadrada é uma equação do quarto grau na forma:

ax4 + bx2 + c = 0

onde a, b, e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Observe que nas equações biquadradas, os termos x3 e x não aparecem, o que caracteriza sua estrutura particular.

Características das Equações Biquadradas

• Ausência de termos ímpares: As equações biquadradas não possuem termos de grau ímpar, como x3 ou x.
• Quatro raízes: Como são de quarto grau, podem ter até quatro raízes, que podem ser reais ou complexas.
• Transformação para equação de segundo grau: Frequentemente, a resolução passa por uma substituição que simplifica a equação para uma de segundo grau.

Como Resolver Equações Biquadradas?

O método mais comum para resolver equações biquadradas envolve a substituição da variável x2 por outra variável, geralmente y, simplificando assim a equação para uma de segundo grau.

Passo a Passo para Resolução

1. Substituição: Substitua x2 por y, transformando a equação biquadrada em uma equação quadrática:
   ax4 + bx2 + c = 0 se torna ay2 + by + c = 0
2. Resolução da Equação Quadrática: Resolva a equação quadrática em y usando a fórmula de Bhaskara:
   y = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
3. Retorno para x: Volte para a variável original substituindo y = x2, o que resultará em:
   x2 = y1 ou x2 = y2
   onde y1 e y2 são as raízes encontradas.
4. Determinação das Raízes de x: Resolva x para cada valor de y:
   x = ± √y1 e x = ± √y2

Exemplos Práticos

Vamos aplicar os passos acima para resolver uma equação biquadrada.

Exemplo 1:

x4 - 10x2 + 9 = 0

Resolução:

1. Substituição:
   y = x2 então y2 - 10y + 9 = 0
2. Resolução da Equação Quadrática:
   y = (10 ± √(100 - 36)) / 2
y = (10 ± √64) / 2
y = (10 ± 8) / 2
y1 = 9 e y2 = 1
3. Retorno para x:
   x2 = 9 ou x2 = 1
4. Determinação das Raízes de x:
   x = ±3 e x = ±1

Portanto, as raízes da equação original são x = 3, x = -3, x = 1, e x = -1.

Aplicações em Concursos

As equações biquadradas aparecem frequentemente em questões de concursos, principalmente em contextos onde é necessário analisar as propriedades das raízes ou em problemas que envolvem geometria analítica. A capacidade de transformar a equação para uma forma mais simples é essencial para economizar tempo e garantir precisão.

Questões Resolvidas

Para fixar o aprendizado, vamos resolver algumas questões baseadas no que foi ensinado.

Questão 1:

Resolva a equação biquadrada:

x4 - 5x2 - 36 = 0

Resolução:

1. Substitua y = x2:
   y2 - 5y - 36 = 0
2. Resolva a equação quadrática:
   y = (5 ± √169) / 2
y1 = 9 e y2 = -4
3. Volte para x:
   x2 = 9
x = ±3

Portanto, as raízes reais são x = 3 e x = -3.

Questão 2:

Resolva a equação biquadrada:

2x4 + 7x2 + 3 = 0

Resolução:

1. Substitua y = x2:
   2y2 + 7y + 3 = 0
2. Resolva a equação quadrática:
   y = (-7 ± √25) / 4
y1 = -1/2 e y2 = -3

Neste caso, não há raízes reais para x, pois ambos os valores de y são negativos.

Conclusão

Dominar a resolução de equações biquadradas é crucial para quem se prepara para concursos que exigem conhecimentos aprofundados de matemática. Este guia fornece as bases necessárias para abordar essas questões com confiança e precisão, utilizando métodos consagrados como a substituição e a fórmula de Bhaskara.

Ao final, recomendamos que você continue praticando com as questões propostas para consolidar o conhecimento e garantir sua preparação para as provas.

Veja também: Equações do Segundo Grau