O número de diagonais de um polígono com n lados é dado por uma fórmula simples e muito cobrada em concursos. A seguir, você aprende o conceito, a dedução da fórmula, casos notáveis e exemplos resolvidos para aplicar com segurança em prova.
O que é diagonal em um polígono
Em um polígono, diagonal é o segmento que liga dois vértices não adjacentes. Por exemplo, em um quadrilátero, cada vértice se conecta por diagonal ao vértice oposto.
Esse conceito vale para polígonos convexos e côncavos. Se precisar revisar definições e classificações, veja o material de polígonos e o guia de Geometria Plana.
Fórmula do número de diagonais de um polígono
Seja n o número de lados (e vértices) do polígono. O número de diagonais de um polígono é:
D = n(n − 3) / 2
Dedução 1 — contagem por vértices
Cada vértice se liga a (n − 1) vértices por segmentos. Desses, 2 são lados adjacentes, então sobram n − 3 diagonais que partem de cada vértice. Como há n vértices, parece que teríamos n(n − 3) diagonais, mas cada diagonal é contada duas vezes (uma em cada extremidade). Por isso dividimos por 2:
D = [n(n − 3)] / 2.
Dedução 2 — combinações de vértices
Qualquer segmento entre dois vértices é determinado por uma combinação de 2 vértices: C(n, 2) = n(n − 1)/2. Desses segmentos, n são lados. Logo:
D = C(n, 2) − n = [n(n − 1)/2] − n = n(n − 3)/2.
A fórmula D = n(n − 3)/2 vale para todo polígono simples com n ≥ 3. Para n = 3 (triângulo), D = 0; para n = 4 (quadrilátero), D = 2, e assim por diante.
Casos notáveis e tabela de valores
Para fixar, veja alguns valores usuais. A coluna ‘por vértice’ indica quantas diagonais partem de um vértice (n − 3).
| n (lados) | Diagonais por vértice | Diagonais totais D |
|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 2 |
| 5 | 2 | 5 |
| 6 | 3 | 9 |
| 7 | 4 | 14 |
| 8 | 5 | 20 |
| 9 | 6 | 27 |
| 10 | 7 | 35 |
Antes de aplicar a fórmula, faça um teste rápido com n = 3. Se a sua expressão não zerar para o triângulo, há algo errado.
Aplicações práticas em questões
Nas provas, a cobrança costuma envolver: aplicação direta da fórmula, determinação de n a partir de D e variações como diagonais que partem de um único vértice (n − 3). Veja exemplos didáticos.
Exemplo resolvido
Exemplo: Quantas diagonais tem um polígono de 20 lados?
Resolução:
Use D = n(n − 3)/2: D = 20·17/2 = 340/2 = 170.
Resposta: 170 diagonais.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um polígono possui 65 diagonais. Determine o número de lados.
Resolução:
Equacione: n(n − 3)/2 = 65 ⇒ n(n − 3) = 130 ⇒ n2 − 3n − 130 = 0.
Discriminante: Δ = 9 + 520 = 529 = 232. Assim, n = (3 + 23)/2 = 13 (o valor negativo é descartado).
Resposta: 13 lados.
Exemplo resolvido
Exemplo: Quantas diagonais partem de um vértice de um polígono de n lados? E de um decágono?
Resolução:
De um vértice, não contamos os 2 lados adjacentes nem o próprio vértice: n − 3. Para n = 10, temos 10 − 3 = 7.
Resposta: n − 3; no decágono, 7 diagonais por vértice.
Esquecer de dividir por 2 após contar n(n − 3). Lembre: cada diagonal foi contada duas vezes, uma em cada extremidade.
Conexões úteis para revisar
Diagonais aparecem junto com somas de ângulos e propriedades de polígonos. Para complementar seu estudo, veja:
- Ângulos internos e externos de polígonos: soma dos ângulos e aplicações.
- Polígonos: definições, classificações e nomenclatura.
- Geometria Plana: panorama com os principais tópicos cobrados.
Para fechar: memorize D = n(n − 3)/2, pratique a dedução e treine a passagem inversa (achar n a partir de D). Com isso, você resolve rapidamente as questões mais frequentes do tema.
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