Em Lógica Proposicional, classificar uma proposição composta como tautologia, contradição ou contingência é habilidade cobrada com frequência. A forma mais direta e segura de fazer isso é pela tabela-verdade.
Definições essenciais
Antes de partir para as tabelas, lembre a noção de proposição (declaração com valor lógico: V ou F). Se precisar revisar, veja Proposições Lógicas: Guia Completo para Concursos.
- Tautologia: proposição composta que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de suas proposições simples.
- Contradição: proposição composta que é sempre falsa em qualquer atribuição de valores.
- Contingência: proposição composta que pode ser verdadeira em algumas linhas e falsa em outras da tabela-verdade.
Falamos aqui de proposições compostas (com conectivos como ∧, ∨, →, ↔, ¬). Uma proposição simples (sem conectivos) não é classificada como tautologia/contradição/contingência.
Como identificar com tabela-verdade (passo a passo)
Se for sua primeira abordagem, montar a tabela-verdade completa é o caminho mais seguro. Para revisar construção de tabelas, consulte o guia: Tabela Verdade: Guia Completo para Concursos.
- Conte as variáveis: com n proposições simples, a tabela terá
2ⁿlinhas. - Liste as combinações de V e F para as variáveis na ordem (p, q, r, …).
- Crie colunas auxiliares para partes internas da expressão.
- Preencha as colunas seguindo as definições dos conectivos.
- Observe a coluna final:
- Todas V → tautologia;
- Todas F → contradição;
- Há V e F → contingência.
Na implicação (p → q), quando p é F, o resultado é V (independentemente de q). Esquecer essa regra derruba muitas questões.
Exemplo resolvido (classificação pela tabela-verdade)
Exemplo resolvido
Exemplo: Classifique a proposição p → (p ∧ q) como tautologia, contradição ou contingência.
Resolução:
Montamos a tabela com as colunas p, q, (p ∧ q) e p → (p ∧ q).
| p | q | p ∧ q | p → (p ∧ q) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | F |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
A coluna final tem V e F. Logo, a proposição é uma contingência.
Resposta: contingência.
Formas clássicas: identificando rápido
Algumas estruturas são “carimbos” frequentes em provas.
Tautologia: p ∨ ¬p
| p | ¬p | p ∨ ¬p |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
Resultado sempre V → tautologia.
Contradição: p ∧ ¬p
| p | ¬p | p ∧ ¬p |
|---|---|---|
| V | F | F |
| F | V | F |
Resultado sempre F → contradição.
Para derrubar uma possível tautologia, basta achar uma linha F. Para mostrar que não é contradição, basta achar uma linha V. Um contraexemplo bem escolhido economiza tempo.
Equivalências para acelerar (quando vale a pena)
Nem sempre é necessário montar a tabela completa. Usar equivalências lógicas pode simplificar a expressão e facilitar a classificação. Se quiser se aprofundar, veja Equivalências Lógicas: Guia Completo para Concursos.
- Comutatividade: p ∨ q ≡ q ∨ p e p ∧ q ≡ q ∧ p.
- Implicação: p → q ≡ ¬p ∨ q.
- Bicondicional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
- Leis de De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.
Exemplo rápido: (p ∨ q) → (q ∨ p) é uma tautologia, pois (q ∨ p) é logicamente equivalente a (p ∨ q). Assim, a expressão vira A → A, que é sempre verdadeira.
Checklist prático para classificar
- Identifique as variáveis e estime o tamanho:
2ⁿlinhas. - Crie colunas auxiliares para cada conectivo interno.
- Preencha com calma, especialmente as colunas de → e ↔.
- Verifique a coluna final:
- Só V → tautologia;
- Só F → contradição;
- V e F → contingência.
- Quando possível, use equivalências para simplificar antes da tabela.
Para praticar a construção linha a linha e ganhar velocidade, veja também: Questões de Tabela Verdade Resolvidas para Concursos.
Encerramento
Você viu como decidir, com segurança, se uma proposição composta é tautologia, contradição ou contingência. Domine o passo a passo da tabela-verdade e use equivalências quando ajudarem a simplificar.
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