Quer saber como a alteração dos lados afeta área e perímetro em ampliações e reduções? A regra-chave é: se todas as medidas lineares de uma figura plana são multiplicadas por um mesmo fator k (ampliação ou redução proporcional), então o perímetro é multiplicado por k e a área é multiplicada por k2. Isso vale para polígonos semelhantes (quadrados, retângulos, triângulos) e também para o círculo (raio multiplicado por k).
Ideia central: fator de escala k
Quando uma figura é ampliada (k > 1) ou reduzida (0 < k < 1) de forma proporcional, temos:
- Perímetro novo P’ = k · P.
- Área nova A’ = k2 · A.
Exemplos imediatos:
- Dobrar todas as medidas (k = 2) → perímetro dobra; área quadruplica.
- Reduzir pela metade (k = 1/2) → perímetro cai à metade; área cai para 1/4.
Se você precisa revisar fórmulas básicas de perímetro, confira o guia como calcular perímetro de figuras planas. Para reforçar áreas específicas, veja os artigos de área do quadrado, área do triângulo e área do círculo. Se o assunto for escala em desenhos, mapas e plantas, aprofunde em escalas em mapas e plantas.
Em ampliações/reduções proporcionais: perímetro multiplica por k; área multiplica por k2. Identifique k a partir da informação dada (porcentagem, escala, novo perímetro etc.).
Como converter porcentagens em k
- Aumentar em 20% → k = 1 + 0,20 = 1,2.
- Reduzir em 30% → k = 1 − 0,30 = 0,7.
- Aumentar em 50% → k = 1,5. Reduzir em 50% → k = 0,5.
Tabela rápida: fator linear, perímetro e área
Use esta tabela para os fatores mais comuns de ampliação/redução proporcional:
| Fator linear (k) | Perímetro | Área |
|---|---|---|
| 2 | × 2 | × 4 |
| 3 | × 3 | × 9 |
| 1/2 | × 1/2 | × 1/4 |
| 1/3 | × 1/3 | × 1/9 |
| 1,2 (aumento de 20%) | × 1,2 | × 1,44 |
| 0,8 (redução de 20%) | × 0,8 | × 0,64 |
| 1,5 (aumento de 50%) | × 1,5 | × 2,25 |
Achar que “dobrar o lado dobra a área”. Em figuras semelhantes, dobrar o lado (k = 2) faz a área multiplicar por 22 = 4.
Aplicando a regra em figuras usuais
Quadrado e retângulo
Se cada lado de um quadrado/retângulo é multiplicado por k:
- P’ = k · P.
- A’ = k2 · A.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um quadrado de lado 5 cm é ampliado em 60%. Qual é o novo perímetro e a nova área?
Resolução:
A ampliação de 60% implica k = 1,6. O perímetro original é 4·5 = 20 cm e a área original é 52 = 25 cm².
- P’ = 1,6 · 20 = 32 cm.
- A’ = 1,62 · 25 = 2,56 · 25 = 64 cm².
Resposta: perímetro 32 cm; área 64 cm².
Triângulos
Em uma ampliação proporcional de um triângulo, base e altura são multiplicadas por k. Então A’ = k2 · A. O perímetro também é multiplicado por k.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um triângulo tem área 18 cm². Após redução proporcional de 20%, qual é a nova área?
Resolução:
Redução de 20%: k = 0,8. Logo, A’ = k2 · A = 0,82 · 18 = 0,64 · 18 = 11,52 cm².
Resposta: 11,52 cm².
Círculos
Se o raio r é multiplicado por k, então:
- Circunferência C’ = k · C (pois C = 2πr).
- Área A’ = k2 · A (pois A = πr2).
Exemplo resolvido
Exemplo: Um círculo tem raio reduzido para 70% do original. Qual a variação percentual da área?
Resolução:
k = 0,7. Então A’ = 0,72 · A = 0,49 · A. A área passa a 49% da original, isto é, redução de 51%.
Resposta: redução de 51% na área.
As relações P’ = k·P e A’ = k2·A valem quando a alteração é proporcional (figuras semelhantes). Se apenas uma dimensão muda, a figura pode deixar de ser semelhante e essas relações não se aplicam diretamente. Não confunda com volume (em 3D, as relações envolvem k3).
Exemplos resolvidos essenciais
1) Perímetro aumentou 50%: e a área?
Exemplo: Uma figura plana é ampliada proporcionalmente e seu perímetro aumenta 50%. Se a área original era 80 cm², qual é a nova área?
Resolução:
Perímetro +50% → k = 1,5. Logo, A’ = k2 · A = 1,52 · 80 = 2,25 · 80 = 180 cm².
Resposta: 180 cm².
2) Círculo com raio reduzido em 20%
Exemplo: Um círculo tem área 100π cm². O raio é reduzido em 20%. Calcule a nova área e a nova circunferência.
Resolução:
De A = 100π, segue r = 10 cm. Redução de 20% → k = 0,8. Então:
- A’ = k2 · A = 0,82 · 100π = 64π cm².
- C original = 2π·10 = 20π; C’ = k · C = 0,8 · 20π = 16π cm.
Resposta: área 64π cm²; circunferência 16π cm.
3) Redução proporcional de um retângulo
Exemplo: Um retângulo 12 cm × 5 cm sofre redução proporcional com k = 1/3. Determine o novo perímetro e a nova área.
Resolução:
P = 2(12 + 5) = 34 cm; A = 12·5 = 60 cm². Como k = 1/3:
- P’ = (1/3) · 34 = 34/3 cm.
- A’ = (1/3)2 · 60 = (1/9) · 60 = 20/3 cm².
Resposta: P’ = 34/3 cm; A’ = 20/3 cm².
Quando as medidas mudam de forma diferente (não proporcional)
Se apenas algumas medidas mudam, a figura pode não permanecer semelhante. Exemplos típicos:
- Retângulo: se o comprimento dobra e a largura permanece, então P’ = 2·comprimento + 2·largura (recalcule), e A’ = 2 · A (porque apenas uma dimensão foi multiplicada por 2).
- Retângulo com dois fatores distintos: se comprimento multiplica por a e largura por b, então A’ = a·b · A. O perímetro deve ser somado lado a lado com as novas medidas.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um retângulo 8 cm × 3 cm tem o comprimento dobrado e a largura triplicada. Qual a nova área?
Resolução:
A = 8·3 = 24 cm². Como a = 2 e b = 3, temos A’ = 2·3 · 24 = 144 cm².
Resposta: 144 cm².
Como identificar rapidamente k a partir de áreas ou perímetros
- Se for dado perímetro (ou qualquer medida linear) antes e depois, então k = P’/P.
- Se for dada apenas a área, use k = √(A’/A). Ex.: se a área aumentou 44%, A’/A = 1,44 → k = √1,44 = 1,2.
Para um panorama completo dos fundamentos, veja o guia de base de Geometria Plana.
Encerrando
Em ampliações e reduções proporcionais, lembre: perímetro varia linearmente com k e área varia quadraticamente com k2. Dominar essa ideia acelera a resolução de muitas questões de Geometria Plana e escalas.
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