O que são aumentos e descontos sucessivos
Em problemas de aumentos e descontos sucessivos, um valor passa por mais de um ajuste percentual, em sequência. A chave é perceber que cada etapa altera a base para a próxima. Por isso, não se somam percentuais; multiplica-se por fatores.
Método rápido: fatores multiplicativos
Em vez de calcular porcentagem sobre o valor a cada etapa, transforme cada ajuste em um fator multiplicativo:
- Aumento de x% → fator: 1 + x/100.
- Desconto de x% → fator: 1 − x/100.
Basta multiplicar o valor inicial por todos os fatores, na ordem que preferir (o produto é o mesmo).
Tabela de fatores comuns
| Percentual | Fator de aumento | Fator de redução |
|---|---|---|
| 5% | 1,05 | 0,95 |
| 10% | 1,10 | 0,90 |
| 20% | 1,20 | 0,80 |
| 25% | 1,25 | 0,75 |
| 50% | 1,50 | 0,50 |
Variação total em aumentos e descontos sucessivos
Se os fatores forem f1, f2, …, fn, então o fator final é F = f1 × f2 × … × fn. A variação total (em %) é (F − 1) × 100%.
Somar os percentuais. Ex.: +20% e −10% não dá +10%. O correto é multiplicar: 1,20 × 0,90 = 1,08, ou seja, +8%.
A ordem importa?
Ao usar fatores, o produto final é o mesmo independentemente da ordem (1,20 × 0,90 = 0,90 × 1,20). O que muda é apenas o valor intermediário após cada etapa, não o resultado final.
Se o enunciado pedir valores intermediários (por exemplo, o preço após o primeiro ajuste), aí a ordem indicada no texto precisa ser seguida para esses cálculos parciais.
Exemplos resolvidos
Exemplo resolvido
Exemplo: Um produto custa R$ 200,00. Sofre aumento de 10% e depois desconto de 20%. Qual é o preço final e a variação total?
Resolução:
Fatores: aumento de 10% → 1,10; desconto de 20% → 0,80.
Fator final: 1,10 × 0,80 = 0,88.
Preço final: 200 × 0,88 = R$ 176,00.
Variação total: (0,88 − 1) × 100% = −12% (desconto total de 12%).
Resposta: R$ 176,00; variação total de −12%.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um valor sofre três ajustes sucessivos: +15%, +10% e −12%. Calcule o fator final e a variação total.
Resolução:
Fatores: 1,15; 1,10; 0,88.
Fator final: 1,15 × 1,10 × 0,88 = 1,1112 (multiplicando na calculadora: 1,265 × 0,88 = 1,1112).
Variação total: (1,1112 − 1) × 100% ≈ +11,12%.
Resposta: F ≈ 1,1112; aumento total ≈ 11,12%.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um preço é aumentado em 25% e depois deve voltar ao valor original. Qual deve ser o desconto?
Resolução:
Queremos (1,25) × (1 − d) = 1. Logo, 1 − d = 1/1,25 = 0,8 → d = 0,2 = 20%.
Em geral, para anular um aumento de x%, o desconto necessário é 100×x/(100 + x) %.
Resposta: 20% de desconto.
Exemplo resolvido
Exemplo: Um item recebe dois aumentos iguais de 10% em meses consecutivos. Qual é a variação total em relação ao início?
Resolução:
Dois aumentos de 10% equivalem a (1,10)2 = 1,21.
Variação total: (1,21 − 1) × 100% = +21%.
Resposta: Aumento total de 21%.
Identifique rapidamente o fator: +x% → 1 + x/100; −x% → 1 − x/100. Em sequências, multiplique os fatores e, ao final, converta para %. É mais rápido e evita erros.
Percentual único equivalente
Muitas questões pedem “um único percentual” que represente todos os ajustes. Basta transformar cada etapa em fator e multiplicar.
- Calcule F = produto dos fatores.
- Percentual equivalente = (F − 1) × 100%.
Ex.: +20% e −10% → F = 1,20 × 0,90 = 1,08 → equivalente a +8%.
Quando usar Regra de Três
A Regra de Três pode resolver etapas isoladas, mas, em sequências de percentuais, os fatores multiplicativos costumam ser mais diretos e menos sujeitos a erro.
Erros que derrubam pontos
- Somar percentuais em vez de multiplicar fatores.
- Esquecer que cada ajuste altera a base para o próximo.
- Arredondar cedo demais. Deixe para o final, salvo orientação do enunciado.
- Confundir “voltar ao valor original” com “aplicar o mesmo percentual em sentido oposto”.
Revisão rápida
- Aumentos e descontos sucessivos se resolvem por fatores.
- Fator final F = produto dos fatores; variação total = (F − 1) × 100%.
- Dois aumentos iguais de x%: fator (1 + x/100)2.
- Desconto que anula um aumento de x%: 100×x/(100 + x) %.
Próximos passos
Para reforçar a base, veja nosso conteúdo de Porcentagem. Em ajustes por etapas, fatores multiplicativos aceleram muito a resolução; quando necessário, complemente com Regra de Três.
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